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By Robert Sauer

Das vorliegende Buch handelt von partiellen Differentialgleichungen, d. h. von Differentialgleichungen mit zwei oder mehr als zwei unabhangi gen Veranderlichen. Urn eine bestimmte Losung einer partiellen Differen tialgleichung festzulegen, muB guy noch gewisse zusatzliche Daten vor schreiben. Je nach der paintings dieser zusatzlichen Daten spricht guy in gewissen Fallen von Anfangswertproblemen und in anderen Fallen von Randwertproblemen oder von Anfangs-Randwert-Problemen. Ein An fangswertproblem laBt sich z. B. fur die Wellengleichung I x x - I y y = zero stellen (vgl. 2); eine Losung I (x, y) dieser Gleichung liegt etwa in der oberen x, y-Halbebene eindeutig fest, wenn auf der x-Achse als Anfangskurve die Werte von lund der erst en partiellen Ableitung Iy (Anfangswerte) bekannt sind. Ein Randwertproblem kann z. B. fUr die Potentialgleichung Ixx + Ivy = zero gestellt werden (vgl. 1); hier liegt eine Losung I (x, y) etwa im Innern eines Kreises eindeutig fest, wenn guy die Werte von I auf dem Kreis (Randwerte) kennt. Als Bei spiel eines Anfangs-Randwert-Problems sei folgende Aufgabe genannt: Gesucht ist die Losung der Wellengleichung fUr einen in der oberen x, y-Halbebene gelegenen Halbstreifen, der von einer Strecke der x-Achse und zwei zur y-Achse parallelen Halbgeraden begrenzt wird; auf der Strecke der x-Achse sind die Werte von lund Iy (Anfangswerte) vorgegebi)ll, auf den beiden Halbgeraden die Werte von I allein (Rand werte). Anfangs-und Randwertprobleme konnen nicht nach Belieben gestellt werden, sondern fUr gewisse Differentialgleichungen sind nur Anfangswertprobleme, fUr andere nur Randwertprobleme "sachgemaB" .

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Als MONGESche Richtungen Abb. 17. bezeichnen wir die Richtungen der Mantellinien der MONGEschen Kegel. Das von den MONGESchen Richtungen erzeugte Richtungsfeld ordnet jedem Punkt P (x, y, f) eine I-parametrige Menge von Richtungen zu; bei den quasilinaren GIn. 1) fallen diese Richtungen in eine einzige zusammen. Die MONGESchen Richtungen ergeben sich aus den Berührlinien der Tangentenebenen der MONGEschen Kegel, d. h. } = 0. § 8. Allgemeine Differentialgleichung bei zwei unabh. Veränderlichen. 37 Mit Berücksichtigung von d df(JJ(x, y, f, P(A), q(A)) = (JJpP' + (JJqq' = 0 folgt hieraus (X - x) : (Y - y) : (F - f) = (JJp: (JJq: (P(JJp + q ({Jq).

L + ... + a(JJp ay at a(JJp ~ iJq at· Mit Rücksicht auf (j)(s, t) - 0, also kommt schließlich B s = (j),. (p Xt + q Yt - Itl = - {j)f B, also B - 0 auf Grund des Anfangswertes B (0, t) = o. 42 H. Differentialgleichungen erster Ordnung. Nachdem gezeigt ist, daß /x = P und /'11 = q gilt, folgt aus der Existenz der stetigen ersten Ableitungen von p und q die zweimalige stetige Differenzierbarkeit der Funktion / (x, y). : Es sei / = / (x, y) irgendeine durch den gegebenen An. fangsstreifen gehende Integralfläche.

1Vgl. hierzu etwaCoURANT-HILBERT: Methoden der math. Physik, 2. , Bd. 49. (Grundlehren d. math. ) Berlin: Springer 1931. 26 1. Gegenüberstellung von Anfangswert- und Randwertproblemen. Wir fordern, daß diese Differenzenquotienten gegen stetige Grenzfunktionen streben, d. h. daß die Anfangsdaten (x) und q(x) dreimal bzw. zweimal stetig differenzierbar seien. Dann läßt sich die vorher für die Folge th (x, t) angestellte Konvergenzbetrachtung ebenso auf die ersten und zweiten Differenzenquotienten anwenden.

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