Download Analysis 2: Differentialrechnung im Rn, Gewöhnliche by Otto Forster PDF

By Otto Forster

Der vorliegende Band stellt den zweiten Teil eines Analysis-Kurses f?r studierende der Mathematik und Physik dar. Das erste Kapitel ?ber Differentialrechnung im R^n behandelt nach einer Einf?hrung in die topologischen Grundbegriffe Kurven im R^n, partielle Ableitungen, totale Differenzierbarkeit, Taylorsche Formel, Maxima und Minima von Funktionen mehrerer Ver?nderlichen, implizite Funktionen und parameterabh?ngige Integrale.
Das zweite Kapitel gibt eine kurze Einf?hrung in die Theorie der gew?hnlichen Differentialgleichungen. Nach dem Beweis des allgemeinen Existenz- und Eindeutigkeitssatzes und der Besprechung der Methode der Trennung der Variablen wird besonders auf die Theorie der lienaren Differentialgleichungen eingegangen.
Bei der Darstellung wurde angestrebt, allzu gro?e Abstraktionen zu vermeiden und die Theorie durch viele konkrete Beispiele zu erl?utern, insbesondere solche, die f?r die Physik correct sind.

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Hilfssatz. Sei v: [a, b]- IR m eine stetige vektorwertige Funktion auf dem Interval! [a, b] C IR. Danngilt b b IISv(t)dtll:S; SlIv(t)lIdt. a a u E IR m Beweis. Sei der Wert des Integrals b u:= Sv(t) dt. a und K:= Iluli. Oanngilt b K2 =

Negativ semidefinit), falls die Matrix -A positiv definit (bzw. positiv semidefinit) ist. d) Die Matrix A heL~t indefinit, falls es Vektoren. t 1) E IR n gibt, so daB <~, A~> >0 und (1), A1» <0 .

Das als Zeitintervall interpretiert werde. Die Koordinaten in U X I C IR n + I seien mit (x. • Xn • t) bezeichnet. Flir Funktionen hei~t Au~er f: U X I - IR. (x. t) I- f(x. t) • he~t die Schwingungsgleichung (oder Wellengleichung) und M-! af = 0 kat die Wiirmeleitungsgleichung. Dabei wirkt der Laplace-Operator auf f als Funktion des Ortes x. (Die Konstanten c > 0 und k> 0 bedeuten die Wellen-Ausbreitungsgeschwindigkeit bzw. 8) Sei f: IR! - IR eine zweimal stetig differenzierbare Funktion. 4) gilt grad fer) = f' (r) i r .

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